Đại số Lie là một không gian vector g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} qua trường F {\displaystyle {\displaystyle \mathbb {F} }} cùng với một toán tử đôi [ ⋅ , ⋅ ] : g × g → g {\displaystyle {\displaystyle [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}} gọi là dấu ngoặc Lie thỏa mãn các tiên đề sau

• Song tuyến,

[ a x + b y , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] , {\displaystyle {\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],}}

[ z , a x + b y ] = a [ z , x ] + b [ z , y ] {\displaystyle {\displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}}

với mọi đại lượng vô hướng a,b và tất cả các phần tử x,y,z thuộc g {\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {g}}}} .

• Tính xen kẽ,

[ x , x ] = 0 {\displaystyle [x,x]=0}

với mọi x thuộc g {\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {g}}}} .

Sử dụng tính song tuyến để mở rộng ngoặc Lie và tính xen kẽ, với mọi phần tử x,y ta được

• phản giao hoán

[ x , y ] = − [ y , x ] ,   {\displaystyle {\displaystyle [x,y]=-[y,x],\ }}

Cách kí hiệu đại số Lie bằng một kí hiệu fracktur như g , h , b , n {\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {g,h,b,n}}}} là một truyền thống. Nếu đại số Lie liên kết với nhóm Lie thì đại số được kí hiệu bởi phiên vản fracktur của nhóm: vd như đại số Lie của nhóm biến đổi SU(n) là s u ( n ) . {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n).}

Đại số con và đồng dạng

Dấu ngoặc Lie không liên hợp, điều đó có nghĩa là [ [ x , y ] , z ] [ [ x , y ] , z ] {\displaystyle {\displaystyle [[x,y],z]}[[x,y],z]} không tương đương [ x , [ y , z ] ] [ x , [ y , z ] ] {\displaystyle {\displaystyle [x,[y,z]]}[x,[y,z]]} . Một cấu trúc đại số con h ⊆ g {\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}} là đóng dưới dấu ngoặc Lie. Cấu trúc đại số con lý tưởng i ⊆ g {\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}} là một cấu trúc đại số thỏa mãn điều kiện mạnh hơn:

[ g , i ] ⊆ i . {\displaystyle {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}}

Một cấu trúc đại số Lie là đồng hình nếu ánh xạ tuyến tính phù hợp tương ứng với dấu ngoặc Lie:

ϕ : g → g ′ , ϕ ( [ x , y ] ) = [ ϕ ( x ) , ϕ ( y ) ]   với   x , y ∈ g . {\displaystyle {\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{với}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}}